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第237章 抛砖引玉（第3页）

“这就是教授的风格，他总是能做到外界所认为不可能的事情。”

“不枉我特意从多伦多飞过来。”

林燃在黑板上写下一个数字“3”

“我用到的融合路径都体现了数论、代数几何和高度函数的深层互动，我希望大家能够从中获得一些数学未来统一的灵感。”

林燃看着台下观众们聚精会神的表情，他继续说道：“首先，考虑一种基于沙法列维奇猜想的途径，虽然它本身还未完全证实，但假设我们能证明阿贝尔簇的有限性定理。

通过帕申的技巧，我们可以将曲线问题归约到数域上的有限覆盖，从而证明有理点的有限性。

这里，代数几何提供基础：使用有限平坦群方案和p-可分群，将几何对象转化为有限结构，避免了棘手的算术黎曼-罗赫定理。”

他顿了顿，扫视全场，林燃已经感觉到大部分数学家理解起来已经开始出现困难了。

“其次，我引入泰特猜想的应用：通过端同构的有限性，将雅可比簇的同调与高度函数比较。

想象一下，西格尔模变种作为桥梁，比较度量和朴素高度，从而界定点的高度上限，超过它，就不会有更多有理点，而不违背L函数的解析性质。

这体现了数论的伽罗瓦表示与几何的模空间的融合。”

安德鲁·韦尔举手问道：“教授，这种融合如何避免无限下降？难道不是循环论证吗？”

林燃笑了笑：“好问题，安德鲁。

我们在这个时候就需要借鉴丢番图逼近的想法，就像哈维做的那样，使用高度不等式和维塔的技巧来验证低亏格情形。

这不是孤立的，它是多种方法的结合，数论的L函数加上几何的概型理论，再加上计算的筛法，这体现了格罗滕迪克在《代数几何》中所展现的跨学科精神，同时又不仅仅是EGA。”

安德鲁还是觉得有问题，“但你的高度界是否能有效计算？毕竟莫德尔猜想的核心是有限性，而非具体数目。”

“当然，”林燃不假思索道，脑中闪过他曾经闲暇时间进行过的推导游戏：“通过锐化邦比耶里精炼，我将界限缩小到log（h）的因子，使其适用于实际检验。”

“好了，刚才讲的是整体的构想，接下来是具体的技术层面。

先引入阿贝尔簇和高度函数的融合，各位回忆一下，阿贝尔簇是椭圆曲线的更高维推广，是光滑、适当、连通的代数群方案。

我们从曲线C的雅可比簇Jac（C）入手，这是一个g维阿贝尔簇，捕捉了曲线的点和除子信息，引入一个新的高度h_F（A），这是一种Arakelov几何中的度量，定义为阿贝尔簇A的Néron模型的霍奇线丛的Arakelov度数。

具体来说，对于数域K上的A”

“。通过Zarhin技巧，我们将（A×A^∨）^4转为本极化簇，减少到极化度1的情形，这是整个证明的基石。

接下来，证明有限性II：对于固定A，同构于A的簇集是有限的。这涉及p-可分群和p-adicHodge理论，计算等基因下的高度变化，确保高度集有限，从而推导出阿贝尔簇的等基因有限性。”

在讲完法尔廷斯的证明方法之后，林燃还基给了另外两条路径，第一条是基于丢番图逼近的证明思路，另外一个则是从p进数霍奇定理证明出发的证明。

后两种路径都没有具体技术层面，也就是说，大家谁想想到，谁就能发论文。

属于是公开发福利了。

整整一个半天的学术报告讲完之后，林燃说道：“各位，当我们回溯莫德尔猜想的证明之旅，从Arakelov几何，到泰特猜想的伽罗瓦表示，再到沙法列维奇的有限性和帕申技巧，我们看到的不仅仅是一个定理的征服，更是数学领域的伟大融合。

代数几何的概型理论是基石，L函数与表示论支撑着数论，高度函数的算术度量则桥接了无限与有限的鸿沟。

这不是孤立的胜利，而是不同细分领域的交汇：几何的优雅、数论的深邃、分析的严谨，共同促成了莫德尔猜想的解决。

格罗滕迪克的《代数几何》很好，他告诉我，有无数数学家正在为数学的大一统以自己的角度做出自己的贡献。

我今天在这里，属于是抛砖引玉的行为。”

林燃简单介绍了一下华国抛砖引玉的典故。

然后接着说道：“希望各位，能够基于数学融合的理念，解决更多更好的问题，能够为数学融合做出一份贡献。

登月需要数万名工程师的共同努力，同样我相信数学的大一统，绝对不是某一个或者某几个数学家就能够做到的事情。

在这里和诸位共勉。”